Kowalstwo słów to znacznie większy procent tego, co powinienem robić w życiu
niż kiedykolwiek bym pomyślał. DONALD KNUTH [6, s. 54]
Pisanie pracy z drugiej fazy matematyki
Steven L. Kleiman we współpracy z Glennem P. Teslerem
c©2 lutego 2005
Abstrakcyjny. Omówimy rodzaj pisania, który jest odpowiedni w artykule przesłanym do Wydziału Matematyki, aby ukończyć fazę drugą wymogu pisania MIT. Najpierw przyjrzymy się ogólnemu celowi wymagania i konkretnemu sposobowi jego wypełnienia na wydziale matematyki. Następnie rozważymy samo pisanie: organizację w sekcje, użycie języka i prezentację matematyki. Na koniec podajemy krótki przykład pisania matematycznego.
1. Wstęp. MIT ustanowił wymóg pisania, aby upewnić się, że jego absolwenci mogą napisać zarówno dobry esej ogólny, jak i dobry raport techniczny. Odpowiednio, wymóg ma dwie fazy, które angażują studentów na początku i pod koniec ich kariery licencjackiej. Wymóg jest regulowany przez komitet instytutu, Komitet ds. Wymagań dotyczących pisania (CWR). Wymaganiem zarządza Biuro Dziekana ds. Studiów i Kształcenia I stopnia, które współpracuje z poszczególnymi wydziałami na etapie II. Ogólne informacje podane tutaj na temat wymagań pochodzą z biuletynu MIT i broszury CWR [3], które są oficjalnymi źródłami.
Aby ukończyć fazę pierwszą, uczniowie muszą uzyskać odpowiedni wynik w teście osiągnięć College Board lub egzaminie Advanced Placement, zdać ocenę eseju Freshman, zaliczyć odpowiedni przedmiot pisemny na kursie 21 i uzyskać certyfikat instruktora lub napisać satysfakcjonujący pięciostronicowy dokument dotyczący dowolnego przedmiotu MIT, przedmiotu wymiany Wellesley lub działalności UROP. Pod względem poziomu, formatu i stylu artykuł Fazy Pierwszej powinien przypominać artykuł w czasopiśmie dla dobrze poinformowanych, ale ogólnych czytelników. Prace są oceniane pod względem struktury logicznej, języka i tonu, poprawności technicznej oraz mechaniki (gramatycznej, ortograficznej i interpunkcyjnej) przez prowadzącego przedmiot oraz przez oceniających z Biura Dziekana ds. Studiów i Kształcenia Licencjackiego. Artykuł uznany za niedopuszczalny może być poprawiany i ponownie złożony dwukrotnie. Studenci muszą ukończyć fazę pierwszą w połowie trzeciego semestru w Instytucie.
Aby ukończyć fazę drugą, studenci muszą otrzymać ocenę B lub lepszą za jakość pisania z przedmiotu współpracującego, zatwierdzoną przez główny wydział studenta, otrzymać ocenę B lub lepszą z jednej z kilku zaawansowanych klas pisania technicznego lub napisać zadowalający 10- papier stronicowy dla dowolnego przedmiotu MIT lub działalności UROP zatwierdzonej przez główny wydział. Student dwóch kierunków musi zaliczyć tylko jeden wydział. Pod względem poziomu, formatu i stylu praca z fazy drugiej powinna być podobna
1
2 Dziennik studiów licencjackich MIT z matematyki
formalny raport zawodowy. Tak więc praca zaliczeniowa lub raport laboratoryjny może wymagać znacznej przeróbki, zanim zostanie zaakceptowana jako praca z fazy drugiej. Artykuł jest oceniany przez jego przełożonego przede wszystkim za zawartość techniczną, a przez oceniających wydział przede wszystkim za jakość tekstu. Studenci muszą ukończyć fazę drugą do końca dnia rejestracji ostatniego semestru; w przeciwnym razie muszą złożyć petycję do swoich departamentów i CWR. Petycje o pozwolenie na zapis na przedmiot pisania są rutynowo zatwierdzane; petycje o złożenie spóźnionego referatu są zatwierdzane tylko w wyjątkowych okolicznościach.
Na Wydziale Matematyki nie ma przedmiotu kooperatywnego, a większość studentów pisze pracę, aby zaliczyć fazę drugą. Ci studenci mogą również otrzymać trzy jednostki kredytowe, rejestrując się w 18.098, Niezależne działania. Każdego roku na wiosnę wydział zbiera artykuły i publikuje je tutaj w MIT UndergraduateJournal of Mathematics.
Praca w fazie II zwykle zaczyna się jako praca semestralna na zajęcia z matematyki, ale każda praca musi mieć opiekuna z MIT i zawierać trochę matematyki technicznej. Kiedy student i promotor uznają, że praca jest gotowa, student podnosi arkusz tytułowy, który jest dostępny w Dziale Matematyki Licencjackiej, pokój 2-108. Student wypełnia górę i przekazuje arkusz promotorowi, który musi ręczyć za techniczną dokładność pracy. Następnie student przesyła pracę i stronę tytułową do koordynatora wydziałowego. Dokument musi zostać złożony przed rozpoczęciem IAP, jeśli student zamierza ukończyć studia w czerwcu następnego roku.
Po złożeniu pracy koordynator działu matematyki czyta ją pod kątem jakości tekstu i określa, czy praca jest do zaakceptowania w obecnej formie. Jeśli praca wymaga poprawy (większość wymaga), wówczas koordynator i dział ds. pisania omówić papier. Asystent kontaktuje się z uczniem i umawia spotkanie w celu omówienia obszarów wymagających dalszej pracy. Student przesyła kolejne poprawki do TA, a kiedy praca jest gotowa, jest ponownie przesyłana do koordynatora. Często koordynator pracuje bezpośrednio z uczniem. W ten sposób nie tylko poprawia się artykuł, ale co ważniejsze, uczeń uczy się lepiej pisać. Proces jest samouczek.
Ten artykuł jest podkładem do pisania matematycznego, zwłaszcza pisania krótkich artykułów. Rzeczywiście, ten artykuł sam w sobie ma być wzorem formatu, języka i stylu. Pisanie matematyczne to przede wszystkim rzemiosło, którego może nauczyć się każdy student matematyki. Jego celem jest efektywne informowanie. Jej podstawowe zasady są omówione i zilustrowane tutaj. Niektóre z tych zasad to proste sprawy zdrowego rozsądku; inne to konwencje, które wyewoluowały z doświadczenia. Za żadnym nie trzeba podążać niewolniczo, ale żadnego nie należy łamać bezmyślnie. Kiedy jeden jest zepsuty, przerwa może się wyróżniać jak borowik — tak jak robi to niekonwencjonalna pisownia. Jednak samo pismo powinno zniknąć w tle, pozostawiając informacje do przekazania z przodu. Przestrzeganie tych zasad nie będzie ograniczać niczyjego stylu; jest dużo miejsca na indywidualne zróżnicowanie. Same różne zasady są dokładniej omówione w wielu pracach, w tym w następujących pracach, na których oparty jest ten elementarz: praktyczna książka Alleya [1], artykuł Flandersa [4] i podręcznik Gillmana [5] dla autorów artykuły do czasopism MAA, notatki [6] do kursu Knutha na temat pisania matematycznego w Stanford oraz krótki podręcznik stylu Munkresa [7].
W części 2 omówimy normalny sposób dzielenia krótkiej pracy matematycznej na sekcje. Rozważamy cel i treść poszczególnych części: abstraktu, wstępu, kilku części dyskusji głównej, zakończenia (co jest rzadkością w pracy matematycznej), dodatku i spisu piśmiennictwa. w sekcji 3,
Pisanie pracy z drugiej fazy matematyki 3
zajmujemy się „językiem”, czyli doborem słów i symboli oraz strukturą zdań i akapitów. Rozważamy siedem celów języka: precyzję, jasność, znajomość, bezpośredniość, zwięzłość, płynność i obrazowość. Omawiamy znaczenie tych celów i najlepsze sposoby ich osiągnięcia. Rozdziały 2 i 3 oparte są głównie na książce Alleya [1]. W części 4 zajmiemy się kilkoma specjalnymi problemami, które pojawiają się podczas pisania matematyki, takimi jak traktowanie formuł, przedstawianie twierdzeń i dowodów oraz użycie symboli. Materiał pochodzi ze wszystkich pięciu cytowanych powyżej źródeł. W części 5 podajemy ilustracyjną próbkę pisma matematycznego. Zajmujemy się dwoma podstawowymi twierdzeniami rachunku różniczkowego, w większości parafrazując traktowanie w księdze Apostolskiej [2, s. 202-204]; stwierdzamy i udowadniamy twierdzenia oraz wyjaśniamy ich znaczenie. Wreszcie, w dodatku zajmujemy się używaniem takich terminów, jak lemat, twierdzenie i definicja, które są powszechne w leczeniu zaawansowanej matematyki.
2. Organizacja. Większość krótkich artykułów technicznych jest podzielona na około pół tuzina sekcji, które są ponumerowane i zatytułowane. (Strony również powinny być ponumerowane, aby można było je łatwo przeglądać.) Większość artykułów ma streszczenie, wstęp, kilka sekcji dyskusji i spis piśmiennictwa, ale nie ma oficjalnego spisu treści ani indeksu. Czasami dokumenty mają załączniki, które zawierają specjalne szczegółowe informacje lub dostarczają niezbędnych ogólnych informacji drugorzędnym odbiorcom. Zwykle streszczenie ma długość od trzech do sześciu wierszy; spis piśmiennictwa zawiera od trzech do dziewięciu pozycji; a każda pozostała sekcja zajmuje od jednej do trzech stron.
W niektórych dziedzinach artykuły zwykle mają zakończenie. Ta sekcja nie jest obecna tylko po to, aby zrównoważyć wstęp i zamknąć artykuł. W konkluzji omówiono raczej wyniki z ogólnej perspektywy, zebrano nierozstrzygnięte kwestie i sformułowano zalecenia dotyczące dalszych badań. W matematyce zagadnienia te prawie zawsze poruszane są we wstępie, gdzie docierają do większej liczby czytelników; więc konkluzja jest rzadka.
Sekcje to coś więcej niż tylko dzielenie materiału; musisz zdecydować, co gdzie umieścić, co pominąć, a co podkreślić. Jeśli podejmiesz złe decyzje, stracisz czytelników. Nie ma prostej formuły podejmowania decyzji, ponieważ decyzje w dużej mierze zależą od tematu i publiczności. Musisz jednak skonstruować swój artykuł w sposób łatwy do zrozumienia dla czytelników i musisz podkreślić kluczowe wyniki.
Tytuł jest bardzo ważny. Jeśli jest niejasny lub wprowadza w błąd, nie przyciągnie wszystkich zamierzonych czytelników. Silny tytuł identyfikuje ogólny obszar tematu i jego najbardziej charakterystyczne cechy. Mocny tytuł nie zawiera drugorzędnych szczegółów ani symboli. Mocny tytuł jest zwięzły — raczej krótki i na temat.
Najważniejszą sekcją jest streszczenie. Najpierw identyfikuje temat; powtarza słowa i zwroty z tytułu, aby potwierdzić pierwsze wrażenie czytelnika, i podaje szczegóły, które nie pasowały do tytułu. Następnie przedstawia najważniejsze kwestie i podsumowuje nadchodzącą dyskusję. Abstrakt nie zawiera ogólnego materiału źródłowego i najlepiej żadnych symboli. Po prostu podsumowuje zawartość. Streszczenie pozwala czytelnikowi szybko podjąć decyzję o dalszej lekturze. Chociaż wielu zdecyduje się na tym poprzestać, potencjalnie zainteresowani będą kontynuować. Celem nie jest zachęcenie wszystkich, ale skuteczne poinformowanie zainteresowanych. Pamiętaj, że czytelnicy są zajęci. Muszą szybko zdecydować, czy twoja praca jest warta ich czasu. Muszą zdecydować, czy temat ich interesuje i czy prezentacja ich nie ugrzęźnie. Dobrze napisane streszczenie zwiększy liczbę czytelników.
Wprowadzenie jest miejscem, w którym czytelnicy osadzają się w „historii” i często docierają do finału
4 Licencjackie czasopismo matematyczne MIT
decyzję o przeczytaniu całego artykułu. Zacznij mocno; nie marnuj słów ani czasu. Twoi czytelnicy właśnie przeczytali twój tytuł i streszczenie i uzyskali ogólne pojęcie o twoim temacie i leczeniu. Jednak prawdopodobnie wciąż zastanawiają się, jaki dokładnie jest Twój temat i jak go przedstawisz. Mocne wprowadzenie odpowiada na te pytania z jasnością i precyzją, ale w sposób nietechniczny. Precyzyjnie identyfikuje temat i wzbudza w nim zainteresowanie, podając szczegóły, które nie zmieściły się w tytule lub streszczeniu, np. jak powstał temat i dokąd zmierza, jak odnosi się do innych tematów i dlaczego jest ważny. Mocne wprowadzenie dotyka wszystkich istotnych punktów i nic więcej. Mocny wstęp zapewnia wystarczającą ilość materiału podstawowego do zrozumienia całej pracy i nic więcej. Umieść w tej sekcji materiał tła odnoszący się do określonej sekcji, dyskretnie wplatając go w tekst. Mocne wprowadzenie omawia odpowiednią literaturę, cytując jedną lub dwie dobre ankiety.
Wreszcie mocne wprowadzenie opisuje organizację artykułu, zawierając wyraźne odniesienia do numerów rozdziałów. Podsumowuje zawartość bardziej szczegółowo niż streszczenie i mówi, co można znaleźć w każdej sekcji. Daje mapę drogową, która wskazuje trasę, którą należy podążać, oraz najważniejsze elementy po drodze. Ta mapa drogowa jest zasadniczo spisem treści w akapicie prozy. Jest on zawsze umieszczany na końcu wstępu, aby ułatwić przejście do następnej części.
Ciało omawia różne aspekty tematu indywidualnie. Tworząc ciało, najtrudniejszą pracą jest opracowanie strategii podziału informacji. Każdy papier wymaga własnej strategii, którą trzeba wypracować metodą prób i błędów. Istnieje jednak kilka wskazówek. Po pierwsze, przedstaw materiał w małych, łatwych do strawienia porcjach. Po drugie, nie przeskakuj przypadkowo z jednego szczegółu na drugi i nie traktuj nielogicznie niektórych szczegółów jako szczegółowych, a innych ogólnych. Po trzecie, spróbuj podążać sekwencyjną ścieżką przez temat. Jeśli taka ścieżka nie istnieje, po prostu podziel temat na jednostki logiczne i przedstaw je w kolejności najbardziej sprzyjającej zrozumieniu. Jeśli jednostki są niezależne, uporządkuj je według ich znaczenia dla głównych odbiorców.
Istnieją trzy główne powody podziału ciała na sekcje: (1) podział wskazuje na strategię prezentacji; (2) umożliwia czytelnikom szybkie i łatwe odnalezienie interesujących ich informacji; i (3) daje czytelnikom spokojną białą przestrzeń, pozwalając im zatrzymać się i zastanowić nad tym, co zostało powiedziane. Ustaw wprowadzenie i te kilka sekcji ciała mniej więcej równej długości. Kiedy tytułujesz sekcję, staraj się zachować zwięzłość, precyzję i przejrzystość; wtedy czytelnicy będą mieli łatwiej przeskoczyć do konkretnego tematu. Nie wstawiaj po prostu tytułu, jak to często bywa w artykułach prasowych, aby wzbudzić zainteresowanie; raczej zakończ dyskusję w pierwszej sekcji w ramach przygotowań do przerwy, a następnie wznów dyskusję w następnej sekcji, po tytule. Odnosząc się do Sekcji 3, pamiętaj, aby słowo „Sekcja” pisać wielką literą; jest uważane za imię własne. Nie dziel krótkiego artykułu na podrozdziały; przerwy sprawiłyby, że przepływ byłby zbyt wzburzony.
Akcentuj każdy główny punkt za pomocą stylistycznych powtórzeń, ilustracji lub języka. Stylistyczne powtórzenie to selektywne powtórzenie czegoś ważnego; na przykład powinieneś mówić o ważnych kwestiach raz w streszczeniu, drugi raz we wstępie i trzeci raz w treści. W razie potrzeby powtórz ważny punkt na rysunku lub diagramie. Na koniec zaakcentuj ważny punkt za pomocą środka językowego: kursywy, pogrubienia lub cudzysłowów; akapit jednozdaniowy; lub krótkie zdanie na końcu długiego akapitu. W szczególności umieść termin techniczny zapisany kursywą lub pogrubioną czcionką — lub umieść go w cudzysłowie, jeśli jest tylko umiarkowanie techniczny — raz, w momencie jego definiowania. Nie podkreślaj, gdy dostępna jest kursywa lub pogrubiona czcionka. Użyj nagłówków, takich jak Tabela 1-1, Rysunek 1-2 i Twierdzenie 5-2 i odnoś się do nich jako Tabela 1-1, Rysunek 1-2 i
Pisanie arkusza do drugiej fazy matematyki 5
Twierdzenie 5-2; zwróć uwagę, że odniesienia są pisane wielkimi literami i podane w języku łacińskim. Kiedy korzystasz z narzędzi językowych, bądź konsekwentny: zawsze używaj tego samego urządzenia do tego samego zadania.
Lista odniesień zawiera informacje bibliograficzne o każdym cytowanym źródle. Styl listy jest różny w piśmie technicznym i nietechnicznym; podobnie jest ze stylem cytowania. W rzeczywistości istnieje kilka różnych stylów używanych w piśmie technicznym, ale są to stosunkowo niewielkie różnice między sobą. Styl użyty w tym artykule jest powszechnie używany we współczesnym piśmie matematycznym.
Cytat jest traktowany trochę jak uwaga w nawiasie w zdaniu, ale powód cytowania musi być natychmiast widoczny. Nie stosuje się przypisów; nie stosuje się też skrótów „loc. cit.”, „op. cit.” i „tamże”. Klucz referencyjny, tradycyjnie będący cyfrą, ujęty jest w nawiasy kwadratowe. W nawiasach i po kluczu referencyjnym umieść – jako usługę – numery stron, rozdziałów lub równań, poprzedzone przecinkiem; patrz książka Gillmana [5, s. 9]. Powód cytowania musi być natychmiast widoczny i określa jego umiejscowienie, np. po wzmiance o autorze lub dziele. Jeśli cytat znajduje się na końcu zdania, kropkę wstaw po cytacie, a nie przed nawiasem lub wewnątrz niego. W wykazie piśmiennictwa należy podać pełne numery stron każdego artykułu ukazującego się w czasopiśmie, tomie postępowania lub innym zbiorze; nie podawaj numeracji poszczególnych stron cytowanych w tekście.
3. Język. W temacie pisma słowo „język” oznacza dobór słów i symboli oraz ich ułożenie we frazy. Oznacza to konstruowanie zdań i akapitów oraz posługiwanie się przykładami i analogiami. Kiedy piszesz, uważaj na swój język. Kiedy słabnie, twoi czytelnicy się potykają; jeśli zbyt często się potkną, stracą cierpliwość i przestaną czytać. Pisz, pisz od nowa, a potem pisz od nowa, doskonaląc swój język w miarę upływu czasu; nie ma skrótu!
Alley [1, s. 25–130] określa siedem celów języka: dwa cele podstawowe — precyzja i przejrzystość — oraz pięć celów drugorzędnych — znajomość, szczerość, zwięzłość, płynność i obrazowość. Cele te często wzmacniają się nawzajem. Na przykład jasność i szczerość sprzyjają zwięzłości; precyzja i znajomość sprzyjają przejrzystości. Teraz rozważymy te cele indywidualnie.
Bycie precyzyjnym oznacza używanie właściwego słowa. Jednak znalezienie odpowiedniego słowa może być trudne. Skonsultuj się ze słownikiem, a nie tezaurusem, ponieważ słownik wyjaśnia różnice między słowami. Dobrym wyborem jest na przykład American Heritage Dictionary, ponieważ zawiera wiele uwag dotyczących użytkowania. Zapoznaj się z książką na temat używania, na przykład Web-ster's Dictionary of English Usage. Zawsze bierz pod uwagę konotacje słowa (znaczenia skojarzone) wraz z jego denotacjami (jasne znaczenia); niewłaściwe konotacje mogą zaskoczyć czytelników, sugerując niezamierzone pomysły. Na przykład słowo „odpowiednie” oznacza wystarczające na to, co jest wymagane, ale daje poczucie, że jest za mało; jego konotacja jest dokładnym przeciwieństwem jego denotacji. Mocne pisanie nie wymaga używania synonimów, wbrew powszechnemu przekonaniu. Rzeczywiście, powtarzając słowo, często wzmacniasz więź między dwiema myślami. Co więcej, niewiele słów jest dokładnymi synonimami, a często użycie dokładnego synonimu nie wnosi nic do dyskusji.
Bycie precyzyjnym oznacza podawanie konkretnych i konkretnych szczegółów. Bez szczegółów czytelnicy zatrzymują się i zastanawiają niepotrzebnie. Z drugiej strony czytelnicy zapamiętują za pomocą szczegółów. Bycie precyzyjnym nie oznacza podawania wszystkich szczegółów, ale podawanie szczegółów informacyjnych. Podanie niewłaściwych szczegółów lub podanie właściwych w niewłaściwym czasie sprawia, że pisanie staje się nudne i trudne do zrozumienia. Bycie konkretnym nie oznacza eliminowania ogólnych stwierdzeń. Ogólne stwierdzenia są ważne, szczególnie w podsumowaniach. Jednakże,
6 Licencjackie czasopismo matematyczne MIT
konkretne przykłady, ilustracje i analogie dodają znaczenia ogólnym stwierdzeniom. Jasność oznacza nieużywanie niewłaściwych słów. Niejednoznaczne wyrażenie lub zdanie będzie
zakłócić ciągłość i osłabić autorytet całej sekcji. Częstym błędem jest używanie zbyt skomplikowanej prozy. Nie łącz przymiotników razem, zwłaszcza jeśli są to rzeczowniki. Ten problem ilustruje wiele wysokiej jakości zdań z oryginalnych artykułów naukowych poświęconych czystej matematyce.
Staraj się, aby Twoje zdania były proste i na temat. Unikaj długich tematów. Zdanie, w którym wiele dzieje się między rzeczownikiem a czasownikiem, jest trudne do odczytania. Ale zdanie jest łatwe do odczytania, gdy niewiele dzieje się między rzeczownikiem a czasownikiem. Chcesz wyrazić złożony pomysł? Następnie użyj kilku krótkich zdań. Czytelnicy są zatem zachęcani do zatrzymania się i zastanowienia. Potrzebujesz jednak dłuższych zdań, aby twoje pisanie nie brzmiało chaotycznie i aby zapewnić różnorodność i nacisk.
Zaimek zwykle odnosi się do pierwszego rzeczownika poprzedzającego. Czasami jednak odnosi się szeroko do poprzedzającego wyrażenia, tematu lub idei. Należy tego unikać. Upewnij się, że odniesienie jest natychmiast jasne, zwłaszcza z „to”, „to” i „który”. Rozważ powtórzenie poprzednika lub podsumowanie go.
Często używa się zaimka w liczbie mnogiej, takiego jak „ich”, aby odnieść się do pojedynczego, ale nieokreślonego poprzednika, takiego jak „czytelnik”. To użycie jest nadal uważane za niedopuszczalne nieformalne pisanie; przeformułuj zdanie, jeśli to konieczne.
Zaimki „że” i „który” nie zawsze są wymienne. Oba mogą być użyte do wprowadzenia klauzuli ograniczającej, ale zwykle używaj „tamtego”. Do wprowadzenia klauzuli opisowej można użyć tylko „które”, a klauzula musi być oddzielona przecinkami. W swoim klasycznym przewodniku po stylu [8, s. 47], Strunk i White zalecają „polowanie na to”.
Interpunkcja służy do wyeliminowania dwuznaczności w języku i ułatwienia przepływu tekstu. Naucz się poprawnie interpunkować. Wyrób w sobie nawyk sięgania do podręcznika, takiego jak The Chicago Manual of Style. Jeśli interpunkcja jest opcjonalna, używaj jej, jeśli zwiększa to przejrzystość, ale staraj się zachować spójność w całej pracy. Oto kilka zasad.
Używaj kropek tylko do kończenia zdań. (Całe zdanie w nawiasie powinno zaczynać się wielką literą i kończyć znakiem interpunkcyjnym, chyba że zdanie jest częścią innego zdania i kończyłoby się kropką). Unikaj skrótów wymagających kropki; na przykład napisz „MIT” zamiast „MIT”. i używaj „to jest” zamiast „tj.”. Zawsze używaj przecinków, aby oddzielić trzy lub więcej elementów na liście i wyróżnić kontrastujące ze sobą elementy (często zaczynają się one od „ale” lub „nie”). W większości przypadków używaj przecinka po słowie wprowadzającym, frazie lub klauzuli.
Używaj dwukropków do wprowadzania list, wyjaśnień i prezentacji, ale nie lematów, twierdzeń i wniosków. Nie używaj dwukropków w kontynuacjach zdań: jeśli zdanie kończy się na dwukropku, to słowa wprowadzające powinny tworzyć pełne zdanie. Na przykład nie pisz: „Użyj dwukropków, aby wprowadzić: listy, wyjaśnienia i wyświetlacze”. Użyj średnika, aby połączyć dwa zdania, aby wskazać, że są one ściśle powiązane treściowo; jeśli jednak wstawisz spójnik, a nie przysłówek, użyj przecinka.
Użyj myślnika jako przecinka dodającego siły — ale używaj go oszczędnie — niesie ze sobą ślad emocji. Umieść zamykające cudzysłowy (”) po przecinkach i kropkach; to kwestia pozorów, a nie logiki. Umieścić przypadkowe materiały w nawiasach; generalnie odradza się stosowanie przypisów dolnych i końcowych w raportach technicznych. Nie używaj apostrofu do tworzenia liczby mnogiej jednej lub więcej cyfr i liter używanych jako rzeczowniki, chyba że chcesz uniknąć pomyłki. Na przykład zapisz to: wczesne lata 70., wiele YMCA, kilka doktoratów, x i y.
Aby informować, musisz używać języka znanego czytelnikom. Zdefiniuj nieznane słowa i znane słowa używane w nieznany sposób. Jeśli definicja jest krótka, umieść ją w
Pisanie arkusza do drugiej fazy matematyki 7
to samo zdanie, poprzedzając je słowem „lub” lub oddzielając je przecinkami lub nawiasami. Jeśli definicja jest złożona lub techniczna, rozwiń ją w zdaniu lub dwóch. Nie używaj słów takich jak „zdolność”, „wykorzystanie” i „wdrożenie”; nie oferują precyzji, jasności ani ciągłości i posmaku pseudointelektualizmu. Uważaj na słowa takie jak „interfejs”; są precyzyjne w niektórych kontekstach, ale nieprecyzyjne i pretensjonalne w innych.
Żargon jest słownictwem specyficznym dla określonej grupy i składa się ze skrótów i terminów slangowych. Żargon nie jest z natury zły. Rzeczywiście, jest to przydatne w wewnętrznych raportach memosand. Jednak żargon odstrasza zewnętrznych czytelników, a nawet może wprowadzać ich w błąd. Uważaj. Klisze to wyrażenia figuratywne, które były nadużywane i nabrały niepożądanych konotacji. Większość jest nieprecyzyjna i niejasna. Unikaj ich lub daj się wyśmiać. Ponadto unikaj cyfr, ponieważ spowalniają czytanie. Wpisz liczby, jeśli można je wyrazić jednym lub dwoma słowami i są używane jako przymiotniki, chyba że towarzyszą im jednostki, znak procentu lub znak monetarny. Na przykład napisz: „Równanie ma dwa pierwiastki” i „Jeden pierwiastek to 2”. Nie zaczynaj zdania od cyfry lub symbolu; przeformułuj zdanie, jeśli to konieczne.
Bądź szczery: pisz bez wahania, prostolinijnie i przyjaźnie, pozbawiając swój język niepotrzebnej i oszałamiającej formalności. Uważaj na niewygodne i nieefektywne konstrukcje pasywne. Często strona bierna jest używana po prostu po to, aby uniknąć pierwszej osoby. Jednak zaimek „my” jest obecnie ogólnie uważany za akceptowalny w kontekstach, w których oznacza autora i czytelnika razem lub rzadziej autora z czytelnikiem patrzącym. Mimo to „my” nie powinno być używane jako formalny odpowiednik „ja”, a „ja” powinno być używane rzadko, jeśli w ogóle.
Na przykład nie pisz: „Rozwiązując równanie, okazuje się, że pierwiastki są rzeczywiste”. Zamiast tego napisz: „Rozwiązując równanie, stwierdzamy, że pierwiastki są rzeczywiste” lub „Rozwiązując równanie, uzyskujemy pierwiastki rzeczywiste”. Dopuszczalne, ale mniej pożądane, jest napisanie: „Rozwiązując równanie, okazuje się, że pierwiastki są rzeczywiste”. Zaimek osobowy „jeden” jest oznaką formalności; zapisz „jeden” do użycia jako liczba. Uważaj na zwisające imiesłowy. Błędem jest napisanie: „Rozwiązując równanie, pierwiastki są rzeczywiste”, ponieważ „pierwiastki” nie mogą rozwiązać równania.
Zwięzłe pisanie jest energiczne; rozwlekłe pisanie jest męczące. Zwięzłość wynika ze sprowadzenia zdań do ich najprostszych form. Na przykład nie pisz: „Aby znaleźć rozwiązanie równania, możemy użyć jednej z dwóch alternatywnych metod”. Zamiast tego napisz: „Aby rozwiązać równanie, możemy użyć jednej z dwóch metod”, eliminując w ten sposób puste słowa („w kolejności”), redukując tłuste frazy („znaleźć rozwiązanie”) i eliminując niepotrzebne powtórzenia („alternatywa”) . Jeśli to oczywiste, nie mów tego! Zwięzłe pisanie jest proste i wydajne, a przez to piękne.
Płynność pracy zakłócają słabe przejścia między zdaniami a akapitami. Aby wygładzić przepływ, rozpocznij zdanie w miejscu, w którym zakończyło się poprzednie. Używaj spójnych słów i zwrotów. Unikaj luk w logice i podawaj obszerne szczegóły. Nie wykonuj niepotrzebnych skoków podczas wyprowadzania równań. Podczas omawiania pojęć równoległych używaj sformułowań równoległych. Nie zadawaj pytań w sposób dorozumiany i nie pozostawiaj ich bez odpowiedzi. Zwróć uwagę na czas, głos i tryb czasowników; preferuj aktywny czas teraźniejszy oznajmujący.
Niektóre artykuły pozostają w stagnacji, ponieważ brakuje im różnorodności. Zdania zaczynają się w ten sam sposób, mają taką samą długość i są tego samego typu. Akapity mają taką samą długość i strukturę. Na początku nie przejmuj się różnicowaniem zdań i akapitów; poczekaj, aż wypolerujesz swoje pisanie. Pamiętaj jednak, że jeśli musisz wybierać między płynnością a klarownością, musisz wybrać klarowność.
Sama struktura zdania przekazuje znaczenie. Czytelnicy oczekują, że stres kłamie
8 Dziennik studiów licencjackich MIT z matematyki
na początku i na końcu. Biorą oddech na początku, ale zabraknie im tchu przed końcem, jeśli struktura jest zbyt złożona, na przykład, jeśli podmiot jest zbyt daleko od czasownika.
Większość ludzi myśli i zapamiętuje obrazy, a nie abstrakcje, a obrazy wyjaśniają ilustracje. Ilustracje zapewniają również pauzy, dzięki czemu złożone pomysły mogą się wchłaniać. Co więcej, ilustracje mogą sprawić, że artykuł będzie przyjemniejszy i mniej odpychający. Jednak użycie ilustracji może być przesadzone; musi pasować do odbiorców i tematu.
Ilustracje nie mogą występować samodzielnie; należy je wprowadzić w tekście. Przypisz im tytuły, takie jak Rysunek 5-1 lub Tabela 5-1, jako odniesienia. Nadaj im podpisy, które niezależnie od tekstu powiedzą, czym są i czym się od siebie różnią, nie będąc zbyt szczegółowymi. Ponadto wyraźnie oznacz części ilustracji: osie wykresów oznacz słowami, a nie symbolami; zidentyfikuj w tekście wszelkie nietypowe symbole swoich diagramów. Nie umieszczaj zbyt wielu informacji na jednej ilustracji, ponieważ artykuły bez białych znaków męczą czytniki. Z tego samego powodu używaj odpowiednich granic. Wygładź przejścia między słowami a obrazami. Najpierw dopasuj informacje w tekście i ilustracjach. Po drugie, umieść ilustracje tuż po ich pierwszej wzmiance w tekście — nigdy wcześniej.
4. Matematyka. Pismo matematyczne zwykle zawiera wiele abstrakcyjnych symboli i formalnych argumentów, które stwarzają szczególne problemy. Aby pomóc ci zrozumieć te problemy i poradzić sobie z nimi w swoim piśmie, oto kilka komentarzy i wskazówek.
Formuły są trudne do odczytania, ponieważ czytelnicy muszą się zatrzymać i przeanalizować znaczenie każdego terminu. Nie tylko wymieniaj sekwencję formuł bez dostrzegalnego celu, ale daj bieżący komentarz. Zdefiniuj terminy, gdy są wprowadzane, określ wszelkie założenia dotyczące ich ważności i podaj przykłady, aby dać im poczucie. Podobnie motywuj i wyjaśniaj formalne stwierdzenia. Nie nazywaj stwierdzenia po prostu „ważnym”, „interesującym” lub „niezwykłym”, ale wyjaśnij, dlaczego tak jest.
Wyświetl ważną formułę, wyśrodkowując ją w osobnej linii i podaj numer referencyjny na marginesie, jeśli chcesz się do niej odnieść. Wyświetl także każdą formułę, która jest dłuższa niż jedna czwarta linii, która zostałaby źle podzielona między wierszami lub która wystaje na margines. Wstawiaj znaki interpunkcyjne za pomocą przecinków, kropek i tak dalej, tak jakbyś tego nie zrobił; patrz rozdział 5, aby zapoznać się z niektórymi przykładami. Należy pamiętać, że wyświetlacz nie jest cyfrą, ale integralną częścią zdania, dlatego wymaga interpunkcji.
Jasno określ status każdego twierdzenia; wskaż, czy jest to przypuszczenie, poprzednie twierdzenie, czy następny wniosek. Jeśli nie jest to standardowy wynik i pominiesz jego dowód, to podaj dokładne odniesienie w tekście tuż przed stwierdzeniem. Powiedz, czy pominięty dowód jest trudny, czy łatwy, aby pomóc czytelnikom w podjęciu decyzji, czy sami go rozpracować. Jeśli twierdzenie ma nazwę, użyj jej: powiedz „na podstawie pierwszego podstawowego twierdzenia”, a nie tylko „na podstawie twierdzenia 5-1”. Podaj twierdzenie przed jego udowodnieniem. Zachowaj zwięzłość wypowiedzi; umieść definicje i dyskusję gdzie indziej.
Wolą dowód koncepcyjny od obliczeniowego; idee są łatwiejsze do przekazania, zrozumienia i zapamiętania. Pomiń szczegóły czysto rutynowych obliczeń i argumentów — takich, w których nie ma nieoczekiwanych sztuczek ani nowych pomysłów. Strzeż się wszelkich dowodów sprzeczności; często istnieje prostszy bezpośredni argument. Wreszcie, kiedy dowód się skończy, powiedz to wprost. Na przykład powiedz: „Dowód jest zakończony” lub użyj symbolu Hal-mos ¤. Ponadto otocz dowód — a także stwierdzenie — dodatkową białą przestrzenią. (Sprawy te są teraz zwykle obsługiwane przez plik w stylu LATEX).
Pisanie arkusza do drugiej fazy matematyki 9
Oto kilka dodatkowych wskazówek: 1. Oddziel symbole w różnych formułach za pomocą słów.
Źle: Rozważmy Sq, q = 1, . . . , n.Dobry: Rozważmy Sq dla q = 1, . . . , N.
2. Nie używaj w tekście takich symboli jak ∃, ∀, ∧, ⇒, ≈, =, >; zastąp je słowami. Można ich oczywiście używać we wzorach umieszczanych w tekście.
Źle: Niech S będzie zbiorem wszystkich liczb bezwzględnych < 1. Dobrze: Niech S będzie zbiorem wszystkich liczb bezwzględnych mniejszych niż 1. Dobrze: Niech S będzie zbiorem wszystkich liczb x takich, że |x| < 1.
3. Nie zaczynaj zdania od symbolu. Źle: ax2 + bx + c = 0 ma pierwiastki rzeczywiste, jeśli b2 − 4ac ≥ 0.
Dobrze: Równanie kwadratowe ax2+bx+c = 0 ma pierwiastki rzeczywiste, jeśli b2−4ac ≥ 0.
4. Strzeż się używania symboli do przekazywania zbyt wielu informacji na raz. Bardzo źle: Jeśli ∆ = b2 − 4ac ≥ 0, to pierwiastki są rzeczywiste.
Źle: Jeśli ∆ = b2 − 4ac jest nieujemne, to pierwiastki są rzeczywiste. Dobrze: Ustaw ∆ = b2 − 4ac. Jeśli ∆ ≥ 0, to pierwiastki są rzeczywiste.
5. Jeśli wprowadzisz warunek za pomocą „jeśli”, to wprowadź wniosek za pomocą „wtedy”. Bardzo źle: Jeśli ∆ ≥ 0, ax2 + bx + c = 0 ma pierwiastki rzeczywiste.
Źle: Jeśli ∆ ≥ 0, pierwiastki są rzeczywiste. Dobrze: Jeśli ∆ ≥ 0, to pierwiastki są rzeczywiste.
6. Nie oddzielaj przecinkami żadnego symbolu ani formuły użytej w tekście w stosunku do zaimka.
Źle: Jeśli wyróżnik ∆ jest nieujemny, pierwiastki są rzeczywiste. Dobrze: Jeśli wyróżnik ∆ jest nieujemny, pierwiastki są rzeczywiste.
7. Używaj spójnej notacji. Nie mów „Aj gdzie 1 ≤ j ≤ n” w jednym miejscu i „Ak
gdzie 1 ≤ k ≤ n” inne miejsce.
8. Zachowaj prostą notację. Na przykład nie pisz „xi jest elementem X”, jeśli „xi jest elementem X”.
9. Poprzedź twierdzenie, algorytm itp. pełnym zdaniem. Źle: Mamy teraz następujące
Twierdzenie 4-1. H(x) jest ciągła. Dobrze: Możemy teraz udowodnić następujący wynik.
Twierdzenie 4-1. Niech H(x) będzie funkcją określoną wzorem (4-1). Wtedy H(x) jest ciągła.
5. Przykład. Jako przykład pisma matematycznego omówimy dwa fundamentalne twierdzenia rachunku różniczkowego. Nasza dyskusja opiera się na tej z książki Apostola [2, s. 202–207]. Pierwsze Twierdzenie Podstawowe mówi, że proces różniczkowania jest odwróceniem procesu integracji. To stwierdzenie jest niezwykłe, ponieważ te dwa procesy wydają się być tak różne: różnicowanie daje nam nachylenie krzywej; integracja, pole pod krzywą. Oto dokładne sformułowanie twierdzenia.
Twierdzenie 5-1 (Pierwsze podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego). Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą na przedziale domkniętym [a, b] i niech c będzie w [a, b]. Wtedy dla każdego x
10 Dziennik studiów licencjackich MIT z matematyki
w przedziale otwartym (a, b) mamy
D
dx
∫ x
C
f(t) dt = fa(x).
Dowód Weźmy liczbę dodatnią h taką, że x + h ≤ b. Wtedy∫ x+h
C
f(t) dt−∫ x
C
f(t) dt =∫ x+h
X
f(t) dt.
Zgodnie z hipotezą f jest ciągła. Stąd istnieje pewne z w [x, x + h], dla którego ta ostatnia całka jest równa h f(z) na podstawie twierdzenia o wartości średniej dla całek [2, s. 154], co nietrudno wyprowadzić z twierdzenia o wartości pośredniej. Konfiguracja jest pokazana na rysunku 5-1; Twierdzenie o wartości średniej mówi, że pole pod wykresem funkcji f jest równe polu prostokąta. Dlatego,
1 godz
(∫ x+h
C
f(t) dt−∫ x
C
f(t) dt
)= f(z).
Teraz x ≤ z ≤ x + h. Stąd, gdy h zbliża się do 0, iloraz różnicy po lewej stronie zbliża się do f (x). Podobny argument dotyczy ujemnego h . Zatem pochodna całki istnieje i jest równa f(x). ¤
z ba
fa (z)f (x)
x+hx
F
Rysunek 5-1. Układ geometryczny dowodu pierwszego podstawowego twierdzenia.
Pierwsze fundamentalne twierdzenie mówi, że dla danej funkcji ciągłej f istnieje funkcja F , a mianowicie F(x) =
∫ x
cf(t) dt, którego pochodna jest równa f :
fa ′(x) = f(x).
Taka funkcja F nazywana jest całką, pierwotną lub pierwotną funkcją f . Całki nie są unikalne: jeśli F jest całką z f, to oczywiście jest nią F + C dla dowolnej stałej C. Z drugiej strony nie ma dalszej dwuznaczności: dowolne dwie całki F i G z f różnią się o stałą. Rzeczywiście, ich różnica F −G ma znikającą pochodną: dla każdego x,
(F −G)′(x) = fa ′(x)−G′(x)= f(x)− f(x) = 0.
Pisanie arkusza do drugiej fazy matematyki 11
Dlatego F − G jest stała dzięki twierdzeniu o wartości średniej dla pochodnych; patrz [2, Cz. 4.7(c), str. 187].
Kiedy połączymy Pierwsze Podstawowe Twierdzenie z faktem, że całka jest jednoznaczna aż do stałej addytywnej, otrzymamy następujące twierdzenie.
Twierdzenie 5-2 (drugie podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego). Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą na przedziale otwartym I oraz niech F będzie całką z f na I. Wtedy dla każdego c i x w I, ∫ x
C
f(t) dt = fa (x)− fa (c). (5-1)
Zbiór dowodów G(x) =∫ x
cf(t) dt. Zgodnie z Pierwszym Podstawowym Twierdzeniem, G jest całką z
F . Teraz dowolne dwie całki różnią się o stałą. Stąd G(x)−F(x) = C dla pewnej stałej C. Biorąc x = c daje −F (c) = C, ponieważ G(c) = 0. Zatem G(x) −F (x) = −F (c) i wynika z tego Równanie (5-1). ¤
Drugie podstawowe twierdzenie jest potężnym stwierdzeniem. Mówi, że możemy obliczyć wartość całki oznaczonej po prostu odejmując dwie wartości dowolnej całki całki. W praktyce całki często można znaleźć, czytając wzór różniczkowania w odwrotnej kolejności. Na przykład całki w tabeli 5-1 zostały znalezione w ten sposób. The
Tabela 5-1 Skrócona tabela całek
1.∫
xa dx = xa+1
a+1 + C, jeśli a 6= −12.
∫x−1 dx = ln x + do
3.∫
grzech x dx = − sałata x + do
4.∫
sałata x dx = grzech x + C
5.∫
ex dx = ex + C
notacja w tabeli jest standardowa [9, s. 178]: równanie∫
f(x) dx = fa(x) + do
czytamy: „Całka z f(x) dx jest równa F(x) plus C”. Dłuższa tablica całek znajduje się na wyklejkach podręcznika do rachunku różniczkowego [9].
Załącznik. Załącznik. Zaawansowana matematyka
W wielu podejściach do zaawansowanej matematyki kluczowe wyniki są przedstawiane formalnie jako twierdzenia, twierdzenia, wnioski i lematy. Jednak te cztery terminy są często używane niedbale, pozbawiając je pewnych przydatnych informacji, które muszą przekazać: natury wyniku.
Twierdzenie jest głównym wynikiem, jednym z głównych celów pracy. Używaj oszczędnie terminu „twierdzenie”. Nazwij drugorzędny wynik twierdzeniem, jeśli ma ono niezależne znaczenie. Nazwij drugorzędny wynik wnioskiem, jeśli wynika on ze stosunkowo niewielkiej liczby dowodów z twierdzenia, twierdzenia lub innego wniosku. Czasami wynik można właściwie nazwać twierdzeniem lub wnioskiem. Jeśli tak, to nazwij to propozycją, jeśli jest względnie ważna,
12 Dziennik studiów licencjackich MIT z matematyki
i nazwij to następstwem, jeśli jest względnie nieważne. Nazwij alemmą twierdzenie pomocnicze, jeśli jest używane w dowodzie twierdzenia, twierdzenia lub innego lematu. Zatem alemma nigdy nie ma wniosku, chociaż czasami można użyć lematu do wyprowadzenia wniosku. Zwykle lemat jest stwierdzany i udowadniany przed jego użyciem.
Często nadużywane są również terminy „definicja” i „uwaga”. Formalna definicja powinna po prostu wprowadzić jakąś terminologię lub notację; nie powinno towarzyszyć omówienie nowych terminów ani symboli. Tradycyjnie używa się „jeśli” zamiast „jeśli i tylko jeśli”; na przykład macierz nazywana jest symetryczną, jeśli jest równa jej transpozycji. Uwaga nieformalna powinna być krótkim komentarzem wygłoszonym mimochodem; główna dyskusja powinna być logicznie niezależna od treści uwagi. Często lepiej jest wpleść definicje i uwagi w ogólną dyskusję niż formalnie je rozdzielać.
Pod względem typograficznym twierdzenia, twierdzenia, wnioski i lematy są tradycyjnie pisane kursywą, a same nagłówki pisane są pogrubioną czcionką lub dużymi literami (Twierdzenie lub Twierdzenie itd.). Teksty definicji i uwag podano jako tekst zwykły; podobnie jak teksty dowodów, przykładów itp. Nagłówki te są tradycyjnie pisane kursywą, pogrubioną czcionką lub kapitalikami. (Istnieje również tradycja typograficznego traktowania definicji jako twierdzeń, ale ta tradycja jest dziś mniej powszechna i mniej pożądana). Wszystkie te formalne stwierdzenia i teksty są zwykle oddzielone od reszty dyskusji przez dodanie dodatkowej białej spacji przed i po nich.
Przypisz tym nagłówkom kolejne numery referencyjne, niezależnie od ich charakteru, i użyj schematu hierarchicznego, którego pierwszym składnikiem jest numer sekcji. Tak więc „Wniosek 3-6” odnosi się do widocznego stwierdzenia w szóstym podrozdziale sekcji 3 i wskazuje że stwierdzenie jest konsekwencją. Jeśli stwierdzenie jest drugim wnioskiem trzeciego twierdzenia w artykule, bardziej logiczne może się wydawać nazwanie tego stwierdzenia „Wniosek 2”, ale może to znacznie utrudnić zlokalizowanie tego stwierdzenia.
Bibliografia
[1] Alley, M., „Rzemiosło pisania naukowego”, Prentice-Hall, 1987. [2] Apostol, TM, „Calculus”, tom I, wydanie drugie, Blaisdell, 1967. [3] Komitet ds. Wymogu Pisania, „Przewodnik po wymogach pisania MIT”,
Licencjackie sprawy akademickie, pokój 20B–140, MIT, 1993. [4] Flanders, H., Podręcznik dla autorów miesięcznych, Amer. Matematyka Miesięcznik 78 (1971), 1–10. [5] Gillman, L., „Dobrze pisać matematykę”, Math Association of America, 1987. [6] Knuth, DE, Larrabee, T. i Roberts, PM, „Pisanie matematyczne”, MAA
Notes Series 14, Math Association of America, 1989. [7] Munkres, J.R., „Podręcznik stylu pisania matematycznego”, Undergraduate Math-
Biuro ematyki, pokój 2–108, MIT, 1986. [8] Strunk Jr., W. i White, EB, „Elementy stylu”, Macmillan w miękkiej okładce
Wydanie, 1962. [9] Thomas, GB i Finney, RL, „Rachunek i geometria analityczna”, wydanie piąte,
Addison-Wesley, 1982.